краткое содержание других презентаций

«Определение двугранных углов» - Прямая, проведенная в данной плоскости. Проведем луч. Основание пирамиды. Двугранные углы в пирамидах. Задача. Точка К. Решение задач. Определение. Ромб. Перпендикулярные плоскости. Найдите величину двугранного угла. Построим BK. Точки М и К лежат в разных гранях. В одной из граней двугранного угла, равного 30, расположена точка М. Определение и свойства. Построение линейного угла. Найдите угол. Провести перпендикуляр.

«Основные аксиомы стереометрии» - Первые уроки стереометрии. Плоскость. Геометрия. Древняя китайская пословица. Следствия из аксиом стереометрии. Изображения пространственных фигур. Предмет стереометрии. Точки прямой лежат в плоскости. Четыре равносторонних треугольника. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Аксиома. Пирамида Хеопса. Плоскости имеют общую точку. Геометрические тела. Основные фигуры в пространстве. Источники и ссылки.

«Понятие пирамиды» - Равные углы. Модель современного промышленного предприятия. Пирамиды в химии. Пирамида в геометрии. Путешествие вокруг света. Сечения пирамиды плоскостями. Маршрут путешествия. Проекции. Египетские пирамиды. Основание пирамиды. След сечения. Боковое ребро. Правильная пирамида. Виртуальное путешествие в мир пирамид. Контрольные вопросы. Смежные боковые грани. Чудеса Гизы. Ступенчатые пирамиды. Многогранник.

«Декартова система» - Определение декартовой системы. Понятие системы координат. Координаты любой точки. Декартова система координат. Прямоугольная система координат. Введение декартовых координат в пространстве. Координаты точки. Рене Декарт. Вопросы для заполнения. Координаты вектора.

«Примеры симметрии в природе» - Дискретная симметрия. Примеры симметричного распределения. Симметрия в природе. Симметрия внешней формы кристалла. Симметрия цилиндра. Виды симметрии. Природные объекты. Что такое симметрия. Симметрия является фундаментальным свойством природы. Симметрия в географии. Симметрия в биологии. Человек, многие животные и растения обладают двусторонней симметрией. Симметрия в геологии. Симметрия в физике.

«Задачи на параллелограмм» - Центры окружностей. Периметр параллелограмма. Площадь параллелограмма. Равенство отрезков. Острый угол. Две окружности. Свойство параллелограмма. Средняя линяя. Углы. Признаки параллелограмма. Площадь. Четырехугольник. Часть. Треугольники. Точки. Касательная к окружности. Доказательство. Свойства параллелограмма. Высота параллелограмма. Диагональ. Геометрия. Окружность. Диагонали параллелограмма.

Взаимное расположение точки и плоскости Точка лежит в плоскости, если ее проекции находятся на одноименных проекциях какой-либо прямой, принадлежащей данной плоскости.

Взаимное расположение прямой линии и плоскости

Возможны следующие три случая относительного расположения прямой и плоскости: прямая принадлежит плоскости, прямая параллельна плоскости, прямая пересекает плоскость.
Прямая линия, пересекающая плоскость Поставлена задача:
Определить точку К пересечения данной прямой а с плоскостью a . Определить видимость прямой. Решение задачи выполняется в три этапа.

Рассмотрим применение данного алгоритма при решении задачи на построение точки К пересечения прямой а с плоскостью a . Возможны три варианта условия данной задачи:
- прямая а - общего положения, плоскость a - проецирующая (или уровня);
- прямая а - проецирующая, плоскость a - общего положения;
- прямая а - общего положения, плоскость a - общего положения.

Решение первых двух задач можно выполнить, не применяя алгоритма, так как один из заданных образов частного положения.

Во втором случае прямая а - фронтально-проецирующая .
Поэтому фронтальные проекции любой ее точки, а также и искомой К пересечения а с плоскостью a (АВС), совпадает с ее вырожденной проекцией a " совпадает с К " . Построение горизонтальной проекции К " точки К выполняется из условия принадлежности точки К плоскости a : точка К принадлежит плоскости a , так как она принадлежит ее прямой A1 (К " находится как точка пересечения прямой A " 1 " с прямой а " ).

Видимость прямой а в этих задачах решается просто - с помощью реконструкции данных образов (по наглядности).

В третьем, общем, случае построение искомой точки К пересечения прямой а с плоскостью a (c// d ) выполнено по описанному алгоритму.
1) прямую а заключают во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость- посредник S(S " ) ;
2) строят прямую m пересечения плоскостей a (c// d) и S(S " ) . На чертеже это отразится записью Фронтальную проекцию m "" строят из условия ее принадлежности данной плоскости a (m и a имеют общие точки 1 и 2 );
3) находят точку K "" , как результат пересечения a "" с m "" , а K " строят по принадлежности прямой m " . Точка K (K "" ,K " ) - искомая точка пересечения прямой a с плоскостью a (c// d) .

Задачу заканчивают определением видимости прямой по правилу конкурирующих точек. Так, на плоскости Н видимость определена с помощью горизонтально конкурирующих точек 1 и где точка 1 принадлежит плоскости a , а точка 3 - прямой a . Точка 3 расположена над точкой 1 , поэтому точка 3 и прямая a в этом участке на плоскости Н будет видима.
На фронтальной плоскости видимость может быть определена или с помощью пары фронтально-конкурирующих точек, или по реконструкции данных образов (при восходящей плоскости видимость одинаковая на плоскостях Н и V ).

Если прямая линия пересекает плоскость под прямым углом, то на комплексном чертеже проекции этой прямой располагаются перпендикулярно проекциям соответствующих линий уровня лоскости.

Если, например, на плоскость, заданную треугольником

ABC , необходимо опустить перпендикуляр из точки К , то построение выполняют следующим образом. Взаимное расположение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельными, либо пересекающимися. Плоскости параллельны , если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Искомая плоскость b , параллельная заданной плоскости a , определена прямыми a 1 и b 1 соответственно параллельными a и b заданной плоскости и проходящими через произвольную точку пространства A .

Пересекающиеся плоскости. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям. Если одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение, то ее вырожденная проекция b "" включает в себя и проекцию a"" линии a пересечения плоскостей. Горизонтальную проекцию a" прямой a строят по двум общим с плоскостью точкам 1 и 2 .

Определение линии пересечения двух плоскостей общего положения

Для определения точек линии пересечения обе заданные плоскости a и b пересекают двумя вспомогательными (параллельными между собой) плоскостями-посредник. Некоторое упрощение можно достичь, если вспомогательные плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. Рассмотрим пример. Плоскость a задана (ABC ), плоскость b задана (DEK ). Точки M и N , определяющие искомую линию пересечения двух данных плоскостей найдем как точки пересечения каких-либо двух сторон (как две прямые) треугольника ABC с плоскостью другого треугольника DEK , т.е. дважды решим позиционную задачу на определение точки пересечения прямой с плоскостью по рассмотренному алгоритму.Выбор сторон треугольников произволен, так как только построением можно точно определить, какая действительно сторона и какого треугольника пересечет плоскость другого. Выбор плоскости-посредник также произволен, так как прямую общего положения, какими являются все стороны треугольников ABC и DEK , можно заключить в горизонтально проецирующую или во фронтально проецирующую плоскости.

На рисунке вы видите аксонометрическое изображение решения задачи на определение линии MN пересечения двух плоскостей ABC и DEK .

Рассмотрим решение этой задачи на плоском чертеже.

1-й этап решения
Для построения точки M использована горизонтально проецирующая плоскость - посредник a (a " ), в которую заключена сторона AB треугольника ABC . 2-й этап решения
Строим линию пересечения (на чертеже она задана точками 1 и 2 ) плоскости-посредника a (a " ) и плоскости DEK . 3-й этап решения
Находим точку M пересечения прямой 1 - 2 с прямой AB .

Найдена одна точка

M искомой линии пересечения.

Для построения точки

N использована горизонтально проецирующая плоскость b (b " ), в которую заключена сторона AC треугольника ABC .

Построения аналогичны предыдущим.

Определение видимости на плоскости

H выполнено с помощью горизонтально конкурирующих точек 4 и 8 .
Точка 4 расположена над точкой 8 (4 " и 8 " ), поэтому на плоскости H часть треугольника DEK , расположенная в сторону точки 4 , закрывает собой часть треугольника ABC , расположенную от линии пересечения в сторону точки 8 .
С помощью пары фронтально конкурирующих точек 6 и 7 определена видимость на плоскости V .

Как построить на чертеже прямую линию, лежащую в заданной плоскости? Это построение основано на двух положениях, известных из геометрии.

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости.
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости или параллельной ей.

Положим, что пл.α (рис. 106) определена двумя пересекающимися прямыми АВ и СВ, а пл. β - двумя параллельными - DE и FG. Согласно первому положе

нию прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится в данной плоскости.

Отсюда вытекает, что если плоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними следах плоскости (рис. 107).

Положим, что пл. γ (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС. Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно прямой ВС, принадлежит пл. γ. Отсюда прямая принадлежит плоскости, если она параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую точку (рис. 108).

Примеры построений на рис. 107 и 108 не должны быть поняты так, что для построения прямой в плоскости надо предварительно строить следы этой плоскости. Это не требуется.

Например, на рис. 109 выполнено построение прямой AM в плоскости, заданной точкой А и прямой, проходящей через точку L. Положим, что прямая AM должна быть параллельна пл. π 1 . Построение начато с проведения проекции А"М" перпендикулярно к линии связи А"А". По точке М" найдена точка М", и затем проведена проекция А"М". Прямая AM отвечает условию: она параллельна пл. π 1 И лежит в данной плоскости, так как проходит через две точки (А и М), заведомо принадлежащие этой плоскости.

Как построить на чертеже точку, лежащую в заданной плоскости? Для того чтобы сделать это, предварительно строят прямую, лежащую в заданной плоскости, и на этой прямой берут точку.

Например, требуется найти фронтальную проекцию точки D, если задана ее горизонтальная проекция D" и известно, что точка D должна лежать в плоскости, определяемой треугольником АВС (рис. 110).

Сначала строят горизонтальную проекцию некоторой прямой так, чтобы точка D могла оказаться на этой прямой, а последняя была бы расположена в данной плоскости. Для этого проводят прямую через точки А" и D" и отмечают точку М", в которой прямая A"D" пересекает отрезок В"С". Построив фронтальную проекцию М" на В"С", получают прямую AM, расположенную в данной плоскости: эта прямая проходит через точки А и М, из которых первая заведомо принадлежит данной плоскости, а вторая в ней построена.

Искомая фронтальная проекция D" точки D должна быть на фронтальной проекции прямой AM.

Другой пример дан на рис. 111. В пл. β, заданной параллельными прямыми АВ и CD, должна находиться точка К, для которой дана лишь горизонтальная проекция - точка К

Через точку К" проведена некоторая прямая, принимаемая в качестве горизонтальной проекции прямой в данной плоскости. По точкам E" и F" строим Е" на А"В" и F" на C"D". Построенная прямая EF принадлежит пл. β, так как проходит через точки Е и F, заведомо принадлежащие плоскости. Если взять точку К" на E"F", го точка К окажется в пл.β

К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, отнесем горизонтали, фронтали 1) и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций . Линию наибольшего наклона к пл. π 1 , будем называть линией ската плоскости 2).

Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в пей и параллельные горизонтальной плоскости проекций.

Построим горизонталь плоскости, заданной треугольником АВС. Требуется провести горизонталь через вершину А (рис. 112).

Так как горизонталь плоскости есть прямая, параллельная пл.π 1 , то фронтальную проекцию этой прямой получим, проведя А"К"⊥А"А". Для построения горизонтальной проекции этой горизонтали строим точку К" и проводим прямую через точки А" и К".

Построенная прямая АК действительно является горизонталью данной плоскости: эта прямая лежит в плоскости, так как проходит через две точки, заведомо ей принадлежащие, и параллельна плоскости проекций π 1 .

Теперь рассмотрим построение горизонтали плоскости, заданной следами.

Горизонтальный след плоскости есть одна из ее горизонталей («нулевая» горизонталь). Поэтому построение какой-либо из горизонталей плоскости сводится

к проведению в этой плоскости прямой, параллельной горизонтальному следу плоскости (рис. 108, слева). Горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости; фронтальная проекция горизонтали параллельна оси проекций.

Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные плоскости проекций π 2 .

Пример построения фронтали в плоскости дан на рис. 113. Пост роение выполнено аналогично построению горизонтали (см. рис. 112).

Пусть фронталь проходит через точку А (рис. 113). Начинаем построение с проведения горизонтальной проекции фронтали - прямой А"К", так как направление этой проекции известно: А К"⊥А"А". Затем строим фронтальную проекцию фронтали - прямую А"К".

1)Наряду с горизонталями и фронталями плоскости можно рассматривать также ее профильные прямые - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные пл. π 3 . Для горизонталей, фронталей и профильных прямых встречается общее название - линия уровня. Однако такое название отвечает обычному представлению только о горизонтальности.

2)Для линии ската плоскости распространено название «линия наибольшего ската», но понятие «скат» по отношению к плоскости не требует добавления «наибольший».

Построенная прямая действительно является фронталью данной плоскости: эта прямая лежит в плоскости, так как проходит через две точки, заведомо ей принадлежащие, и параллельна пл, π 2 .

Построим теперь фронталь плоскости, заданной следами. Рассматривая рис, 108, справа, на котором изображена пл. β и прямая МВ, устанавливаем, что эта прямая - фронталь плоскости. Действительно, она параллельна фронтальному следу («нулевой» фронтали) плоскости, Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси х, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости.

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям π 1 , π 2 и π 3 называются прямые, лежащие в ней и перпендикулярные или к горизонталям плоскости, или к ее фронталям, или к ее профильным прямым. В первом случае определяется наклон к пл.π 1 , во втором - к пл. π 2 , в третьем - к пл. π 3 . Для проведения линий наибольшего наклона плоскости можно, конечно, соответственно брать ее следы.

Как было сказано выше, линия наибольшего наклона плоскости к пл. к π 1 , называется линией ската плоскости.

Согласно правилам проецирования прямого угла (см, § 15) горизонтальная проекция линии ската плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости или к ее горизонтальному следу. Фронтальная проекция линии ската строится после горизонтальной и может занимать различные положения в зависимости от задания плоскости. На рис, 114 изображена линия ската Пл. α: ВК⊥h" 0α . Так как В"К также перпендикулярна к h" 0α , то ∠ВКВ" есть линейный угол

двугранного, образованного плоскостями α и π 1 Следовательно, линия ската плоскости может служить для определения угла наклона этой плоскости к плоскости проекций π 1 .

Аналогично, линия наибольшего наклона плоскости к пл, π 2 служит для определения угла между этой плоскостью и пл, π 2 , а линия наибольшего наклона к пл.π 3 - для определения угла.с пл. π 3 .

На рис, 115 построены линии ската в заданных плоскостях. Угол пл, α с пл.π 1 выражен проекциями - фронтальной в виде угла В"К"В" и горизонтальной в виде отрезка К"В". Определить величину этого угла можно, построив прямоугольный треугольник по катетам, равным К"В" и В"В".

Очевидно, линия наибольшего наклона плоскости определяет положение этой плоскости. Например, если (рис. 115) задана линия ската КВ, то, проведя перпендикулярную к ней горизонтальную прямую AN или задавшись осью проекций х и проведя h" 0α ⊥ К"В", мы вполне определяем плоскость, для которой КВ является линией ската.

Рассмотренные нами прямые особого положения в плоскости, главным образоии горизонтали и фронтали, весьма часто применяются в различных построениях и при решении задач. Это объясняется значительной простотой построения указанных прямых; их поэтому удобно применять в качестве вспомогательных.

На рис. 116 была задана горизонтальная проекция К" точки К. Требовалось найти фронтальную проекцию К", если точка К должна быть в плоскости, заданной двумя параллельными прямыми, проведенными из точек А и В.

Сначала была проведена некоторая прямая линия, проходящая через точку К и лежащая в заданной плоскости. В качестве такой прямой выбрана фронталь МN: ее горизонтальная проекция проведена через данную проекцию К". Затем построены точки М" и N", определяющие фронтальную проекцию фронтали.

Искомая проекция К" должна находиться на прямой M"N".

На рис. 117 слева по данной фронтальной проекции А" точки А, принадлежащей пл.α, найдена ее горизонтальная проекция (А"); построение произведено при помощи горизонтали ЕК. На рис. 117 справа аналогичная задача решена при помощи фронтали MN.

Еще один пример построения недостающей проекции точки, принадлежащей некоторой плоскости, дан на рис. 118. Слева показано задание: линия ската плоскости (АВ) и горизонтальная проекция точки (К"). Справа на рис. 118 показано построение; через точку К" проведена (перпендикулярная к А"В") горизонтальная проекция горизонтали, на которой должна лежать точка К, по точке L" найдена фронтальная проекция этой горизонтали и на ней искомая проекция К".

На рис. 119 дан пример построения второй проекции некоторой плоской кривой, если известна одна проекция (горизонтальная) и пл. α, в которой эта кривая расположена. Взяв на горизонтальной проекции кривой ряд точек, находим при помощи горизонталей точки для построения фронтальной проекции кривой.

Стрелками показан ход построения фронтальной проекции А" по горизонтальной проекции А".

Вопросы к §§ 16-18

Как задаетcя плоскость на чертеже?
Что такое след плоскости на плоскости проекций?
Где располагаются фронтальная проекция горизонтального следа и горизонтальная проекция фронтального следа плоскости?
Как определяется на чертеже, принадлежит ли прямая данной плоскости?
Как построить на чертеже точку, принадлежащую данной плоскости?
Что такое фронталь, горизонталь и линия ската плоскости?
Может ли служить линия ската плоскости для определения угла наклона этой плоскости к плоскости проекций π 1 ?
Определяет ли прямая линия плоскость, для которой эта прямая является, линией ската?

3. Плоскость

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

Положение плоскости в пространстве определяется:

тремя точками, не лежащими на одной прямой;
прямой и точкой, взятой вне прямой;
двумя пересекающимися прямыми;
двумя параллельными прямыми;
плоской фигурой.

В соответствии с этим на эпюре плоскость может быть задана:

проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой (Рисунок 3.1,а);
проекциями точки и прямой (Рисунок 3.1,б);
проекциями двух пересекающихся прямых (Рисунок 3.1,в);
проекциями двух параллельных прямых (Рисунок 3.1,г);
плоской фигурой (Рисунок 3.1,д);
следами плоскости;
линией наибольшего ската плоскости.

Рисунок 3.1 - Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения - это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.
Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный απ1 , фронтальный απ2 и профильный απ3 , которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π1 , фронтальной π2 и профильной π3 (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 - Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения - плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 - Фронтально-проецирующая плоскость,
которой принадлежат: точки A, B, C , линии AC, AB, BC ,
плоскость треугольника АВС

Горизонтально-проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскос ти проекций (Рисунок 3.4, б).

Фронтально-проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Профильно-проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями .

Горизонтальная плоскость уровня - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Фронтальная плоскость уровня - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Профильная плоскость уровня - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

Рисунок 3.4 - Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5).

Рисунок 3.5. Принадлежность точки плоскости

α = m // n
D ∈ n ⇒ D ∈ α

Рисунок 3.6. Принадлежность прямой плоскости

α = m // n
D ∈ α
С ∈ α ⇒ СD ∈ α

Упражнение

Дана плоскость, заданная четырехугольником (Рисунок 3.7, а). Необходимо достроить горизонтальную проекцию вершины С .

а б
Рисунок 3.7 - Условие (а) и решение (б) задачи

Решение :

ABCD - плоский четырехугольник, задающий плоскость.
Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
Согласно признаку пересекающихся прямых, построим горизонтальную проекцию точки пересечения этих прямых K по её известной фронтальной проекции: A 2 C 2 ∩ B 2 D 2 =K 2 .
Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD : на проекции диагонали B 1 D 1 строим К 1 .
Через А 1 К 1 проводим проекцию диагонали А 1 С 1 .
Точку С 1 получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А 1 К 1 .

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 - 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель ) - это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π1 ) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Рисунок 3.8.а. Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель ) - это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π2 ) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Рисунок 3.8.б. Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Профильная прямая уровня p (третья параллель ) - это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π3 ) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Рисунок 3.8 в - Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.9 - Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 - Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 - Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.19).

Рисунок 3.19. Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения линии пересечения прямой с плоскостью необходимо (Рисунок 3.20):

Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
Найти точку пересечения заданной прямой a с линией пересечения плоскостей MN .

Рисунок 3.20. Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ ⊥ π1 (Рисунок 3.21). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Решение :

Плоскость σ - горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальным следом σπ 1 (или σ 1 ) является прямая;
Точка К должна принадлежать прямой АВ ⇒ К 1 ∈ А 1 В 1 и заданной плоскости σ ⇒ К 1 ∈ σ 1 , следовательно, К 1 находится в точке пересечения проекций A 1 B 1 и σ 1 ;
Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: K 2 ∈ A 2 B 2 .

Рисунок 3.21. Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Упражнение

Заданы: плоскость σ = ΔАВС - общего положения, прямая EF (Рисунок 3.22).
Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

А б
Рисунок 3.22. Пересечение прямой с плоскостью (а - модель, б - чертеж)

Решение :

Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.22, а);
Если α ⊥ π 1 , то на плоскость проекций π 1 плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απ 1 или α 1 ), совпадающую с E 1 F 1 ;
Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи было рассмотрено ранее);
Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K .

Алгоритм решения задачи (Рисунок 3.22, б):

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

Рисунок 3.23. Метод конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить - точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π1 или π2 .

Точки, которые в пространстве принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций .

Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций!

Видимость на π2

Выберем точки, конкурирующие на π2 - точки 3 и 4 (рисунок 3.23). Пусть точка 3 ∈ ВС ∈ σ, точка 4 ∈ EF .

Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π2 надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π2 .

Направление взгляда на π2 показано стрелкой.

По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π2 , видно, что точка 41 располагается ближе к наблюдателю, чем 31 .

41 ∈ E 1 F 1 → 4 ∈ EF ⇒ на π2 будет видима точка 4, лежащая на прямой EF , следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K

Видимость на π1

Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π1 - точки 2 и 5.

Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π1 надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π1 .

Направление взгляда на π1 показано стрелкой.

По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π1 , точка 22 располагается ближе к наблюдателю, чем 52 .

22 ∈ А 2 В 2 → 2 ∈ АВ ⇒ на π1 будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ , следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K - пересечения прямой с плоскостью σ.

Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z » или(и) «Y » больше.

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Рисунок 3.24. Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: проекции прямой перпендикулярны наклонным проекциям горизонтали и фронтали, лежащих в плоскости, или следам плоскости (Рисунок 3.24).

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ = Δ АВС и проходит через точку K .
Построим горизонталь и фронталь в плоскости σ = Δ АВС :
A -1 ∈ σ; A -1 // π 1 ; С -2 ∈ σ; С -2 // π 2 .
Восстановим из точки K перпендикуляр к заданной плоскости:
p 1 ⊥ h 1 и p 2 ⊥ f 2 .

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

3.8.1. Параллельность плоскостей

Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Упражнение

Задана плоскость общего положения α = ΔАВС и точка F ∉ α (Рисунок 3.12).
Через точку F провести плоскость σ, параллельную плоскости α.

Рисунок 3.12. Построение плоскости, параллельной заданной

Решение :

Через точку F проводим прямую m , параллельную, например, АВ .
Через точку F , или же через любую точку, принадлежащую m , проводим прямую n , параллельную, например, ВС , причём m ∩ n .
σ = m ∩n и σ // α по определению.

3.8.2. Пересечение плоскостей

Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая однозначно на плоскости или в пространстве может быть задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

Упражнение

Две плоскости α и β заданы следами (Рисунок 3.13). Построить линию пересечения плоскостей.

Рисунок 3.13. Пересечение плоскостей, заданных следами

Порядок построения линии пересечения плоскостей :

Найти точку пересечения горизонтальных следов - это точка М (её проекции М 1 и М 2 , при этом М 1 = М , т.к. М - точка частного положения, принадлежащая плоскости π 1 ).
Найти точку пересечения фронтальных следов - это точка N (её проекции N 1 и N 2 , при этом N 2 = N , т.к. N - точка частного положения, принадлежащая плоскости π 2 ).
Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции полученных точек: М 1 N 1 и М 2 N 2 .

МN - линия пересечения плоскостей.

Упражнение

Задана плоскость α = ΔАВС , плоскость σ - горизонтально-проецирующая (σ ⊥ π1 ) ⇒ σ1 - горизонтальный след плоскости (Рисунок 3.14).
Построить линию пересечения этих плоскостей.

Решение :

Так как плоскость σ пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС , то точки пересечения K и L этих сторон с плоскостью σ являются общими для обеих заданных плоскостей, что позволит, соединив их, найти искомую линию пересечения.

Точки могут быть найдены как точки пересечения прямых с проецирующей плоскостью: находим горизонтальные проекции точек K и L , то есть K 1 и L 1 на пересечении горизонтального следа (σ1 ) заданной плоскости σ с горизонтальными проекциями сторон ΔАВС : А 1 В 1 и A 1 C 1 . После чего посредством линий проекционной связи находим фронтальные проекции этих точек K 2 и L 2 на фронтальных проекциях прямых АВ и АС . Соединим одноимённые проекции: K 1 и L 1 ; K2 и L 2 . Линия пересечения заданных плоскостей построена.

Алгоритм решения задачи :

АВ ∩ σ = K ⇒ А 1 В 1 ∩ σ1 = K 1 → K 2
АС ∩ σ = L ⇒ A 1 C 1 ∩ σ1 = L 1 → L 2
KL - линия пересечения ΔАВС и σ (α ∩ σ = KL ).

Рисунок 3.14. Пересечение плоскостей общего и частного положения

Упражнение

Заданы плоскости α = m // n и плоскость β = ΔАВС (Рисунок 3.15).
Построить линию пересечения заданных плоскостей.

Решение :

Чтобы найти точки, общие для обеих заданных плоскостей и задающие линию пересечения плоскостей α и β, необходимо воспользоваться вспомогательными плоскостями частного положения.
В качестве таких плоскостей выберем две вспомогательные плоскости частного положения, например: σ // τ ; σ ⊥ π 2 ; τ ; ⊥ π 2 .
Вновь введённые плоскости пересекаются с каждой из заданных плоскостей α и β по прямым, параллельным друг другу, так как σ // τ ;:
- результатом пересечения плоскостей α, σ и τ ; являются прямые (4-5) и (6-7);
- результатом пересечения плоскостей β, σ и τ ; являются прямые (3-2) и (1-8).
Прямые (4-5) и (3-2) лежат в плоскости σ; точка их пересечения М одновременно лежит в плоскостях α и β, то есть на прямой пересечения этих плоскостей;
Решение :
1. Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ ⊥ π2 , заключив прямую а во вспомогательную плоскость σ (σ ∈ a ).
2. Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ ∩ β = а . Следовательно (1-2) ∩ а = K .
3. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β.
4. Следовательно, точка K , является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β.
5. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ ⊥π2 (τ ∈ b ).
6. Соединив точки K и L , получим прямую пересечения плоскостей α и β.
3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости
Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Упражнение
Задана плоскость σ ⊥ π2 и прямая общего положения - DE (Рисунок 3.17).
Требуется построить через DE плоскость τ ⊥ σ.

Решение :
Проведем перпендикуляр CD к плоскости σ - C 2 D 2 ⊥ σ2 .

Рисунок 3.17 - Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

По теореме о проецировании прямого угла C 1 D 1 должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD ∩ DE задают плоскость τ . Итак, τ ⊥ σ.
Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

Упражнение
Задана плоскость α = ΔАВС и точка K вне плоскости α.
Требуется построить плоскость β ⊥ α, проходящую через точку K .

Алгоритм решения (Рисунок 3.18):
1. Построим горизонталь h и фронталь f в заданной плоскости α = Δ АВС ;
2. Через точку K проведём перпендикуляр b к плоскости α (по теореме о перпендикуляре к плоскости: если прямая перпендикулярна плоскости, то её проекции перпендикулярны к наклонным проекциям горизонтали и фронтали, лежащих в плоскости: b 2 ⊥ f 2 ; b 1 ⊥ h 1 );
3. Задаем плоскость β любым способом, учитывая, например, β = a ∩ b , таким образом, плоскость, перпендикулярная к заданной, построена: α ⊥ β.
Рисунок 3.18 - Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС
Задачи для самостоятельной работы

1. Задана плоскость α = m // n . Известно, что K ∈ α.
Постройте фронтальную проекцию точки К .

Одной из задач, для решения которых применяются линии уровня, является задача на построение проекций точки, принадлежащей плоскости. Пусть имеется фронтальная проекция D 2 точки D принадлежащей плоскости, заданной следами k X l (рис. 111, а). Требуется найти горизонтальную проекцию D 1 точки D.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей плоскости. Решаем задачу с помощью горизонтали h плоскости k X l. Через точку D 2 проводим фронтальную проекцию h 2 этой горизонтали, которая, как известно, должна быть параллельна оси х 12 (Рис. 111 б). Она пересечет фронтальную проекцию k 2 фронтального следа k к точке N 2 ; проведя вертикальную линию связи, найдем на оси проекций х 12 горизонтальную проекцию фронтального следа N горизонтали (см. рис. 108).

TBegin-->TEnd-->

Горизонтальная проекция h 1 горизонтали должна быть параллельна l 1 , Горизонтальную проекцию D 1 точки D найдем на горизонтальной проекции h 1 горизонтали в точке пересечения ее с вертикальной линией связи, проведенной через точку D 2 .

Эту задачу можно было бы решить также с помощью фронтали. В этом случае пришлось бы через точку D 2 провести фронтальную проекцию f 2 ||k 2 . Советуем учащимся выполнить построение самим. Результат должен быть одинаковым с первым построением.

Несколько изменим условия задачи. Пусть будет задана горизонтальная проекция Е 1 точки Е и плоскость ABC, определенная проекциями треугольника (рис, 112, а), В этой задаче нельзя воспользоваться горизонталью плоскости, поскольку отсутствует фронтальная проекция точки Е. Применяем фронталь f; через точку E 1 проводим горизонтальную проекцию (х фронтали, находим ее фронтальную проекцию l2 и на ней точку Е 1 .

Точку в плоскости можно построить не только с помощью горизонтали и фронтали, но и с помощью прямой общего положения. В некоторых случаях это даже удобнее.

TBegin-->
TEnd-->

Построение прямой общего положения, принадлежащей плоскости общего положения, принципиально не отличается от построения горизонталей и фронталей, принадлежащих плоскости. Построение основано на положении, известном из геометрии: прямая принадлежит плоскости, если она имеет две общие точки с этой плоскостью. Таким образом, если мы пересечем одну из проекций плоскости произвольной прямой и используем две точки пересечения этой прямой с линиями, принадлежащими плоскости, для построения второй проекции линии, то мы сможем решить задачу. Для примера решим предыдущую задачу с помощью прямой общего положения (рис. 112, б). Через точку Е 1 проводим прямую D 1 F 1 любого наклона; находим фронтальную проекцию D 2 F 2 линии DF, используя точки пересечения D 1 и F 1 . На пересечении фронтальной проекции D 2 F 2 с вертикальной линией связи находим фронтальную проекцию Е 1 точки Е.

программа передач на сегодня : Animal Planet, Bloomberg, 3 канал, CNN, Ajara TV, Classic Sport, Amazing Life, AB Moteurs Luxe HD, Jetix, Jetix Play, Mezzo, HD Кино, Discovery Channel, MCM, MGM, HD Life, Discovery Science.

Бури на Солнце